Les mathématiques de la simulation

Ce modèle décrit la fusion nucléaire en quelques équations volontairement simplifiées, afin que chacun puisse le comprendre. Le comportement qualitatif reste le même : comment la température, la densité et le champ magnétique allument un plasma, quand il reste stable et quelle puissance une centrale en tire. La simulation repose sur ces équations et permet d'en expérimenter directement chaque effet.

Deux fonctions auxiliaires sont utilisées à de nombreux endroits. La première limite une valeur à un intervalle, la seconde forme une transition douce de 0 à 1.

$$\operatorname{clamp}(x, a, b) = \min(\max(x, a), b)$$

$x$

Valeur d'entrée

$a,\ b$

Limites inférieure et supérieure de l'intervalle

$$s(x;\ a, b) = u^2\,(3 - 2u), \qquad u = \operatorname{clamp}\left(\frac{x - a}{b - a},\ 0,\ 1\right)$$

$s$

Transition douce : 0 jusqu'au début, 1 à partir de la fin, une montée régulière entre les deux

$x$

Valeur d'entrée

$a,\ b$

Début et fin de la transition

$u$

Position entre le début et la fin, limitée à l'intervalle de 0 à 1

Combustibles

Le modèle considère quatre paires de combustibles. Les valeurs sont des chiffres de manuel arrondis.

$\text{D}$

Deutérium, hydrogène lourd à un neutron

$\text{T}$

Tritium, hydrogène à deux neutrons

${}^{3}\text{He},\ {}^{4}\text{He}$

Hélium 3 et hélium 4

$\text{p}$

Proton

$\text{n}$

Neutron

${}^{11}\text{B}$

Bore 11

Avec le deutérium et le tritium, le neutron emporte 14,1 MeV de l'énergie et le noyau d'hélium 3,5 MeV. Dans les équations ci-dessous, la température d'allumage est notée $T_\text{ign}$.

Taille des noyaux atomiques

Le rayon d'un noyau atomique croît avec la racine cubique de son nombre de masse. La simulation reprend cette proportion et dessine le deutérium avec un rayon de 9 pixels.

$$R = r_0\, A^{1/3}, \qquad r_0 = 1.2\ \text{fm}$$

$R$

Rayon du noyau ; un noyau de deutérium mesure environ 4 fm

$r_0$

Constante de rayon, identique pour tous les noyaux

$A$

Nombre de masse, c'est-à-dire le nombre de protons et de neutrons du noyau

$$R_\text{px} = 9\ \text{px} \times \left(\frac{A}{2}\right)^{1/3}$$

$R_\text{px}$

Rayon du noyau dessiné, en pixels

$A$

Nombre de masse, c'est-à-dire le nombre de protons et de neutrons du noyau

Un femtomètre vaut un millionième de milliardième de mètre ; la simulation agrandit donc les noyaux environ mille milliards de fois.

Tokamak : bilan énergétique du plasma

La propension d'un combustible à fusionner dépend fortement de la température. La réactivité croît à partir d'un quart de la température d'allumage et plafonne juste au-dessus.

$$r(T) = s(T;\ 0.25\, T_\text{ign},\ 1.15\, T_\text{ign})^2$$

$r$

Réactivité entre 0 et 1 : facilité avec laquelle le combustible fusionne

$T$

Température du plasma en millions de degrés Celsius

$T_\text{ign}$

Température d'allumage du combustible, selon le tableau ci-dessus

$s$

Transition douce de la deuxième fonction auxiliaire ci-dessus

$$R_\text{f} = n^2\, r(T)$$

$R_\text{f}$

Taux de fusion, mesure du nombre de réactions par unité de temps

$n$

Densité du combustible entre 0 et 1 ; le curseur l'affiche jusqu'à 2 × 10²⁰ particules par mètre cube

$r$

Réactivité entre 0 et 1 : facilité avec laquelle le combustible fusionne

Le taux de fusion croît avec le carré de la densité, car chaque réaction exige la rencontre de deux noyaux. La température varie sous l'effet du chauffage, de l'auto-chauffage par les noyaux d'hélium et des pertes.

$$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = P_\text{ext} + P_\alpha - \frac{T}{\tau_\text{E}}$$

$T$

Température du plasma en millions de degrés Celsius

$t$

Temps en secondes

$P_\text{ext}$

Chauffage externe, en millions de degrés par seconde

$P_\alpha$

Auto-chauffage par les noyaux d'hélium issus des réactions de fusion

$\tau_\text{E}$

Temps de confinement de l'énergie : un champ plus fort retient la chaleur plus longtemps

$$P_\text{ext} = 220\, h + 500\, i, \qquad P_\alpha = 180\, R_\text{f}, \qquad \tau_\text{E} = 0.25 + 1.7\,\frac{B}{12}$$

$P_\text{ext}$

Chauffage externe, en millions de degrés par seconde

$h$

Puissance de chauffage entre 0 et 1 ; le curseur l'affiche de 0 à 50 MW

$i$

Impulsion d'injection : passe à 1 lors de l'injection et décroît de 1,4 par seconde

$P_\alpha$

Auto-chauffage par les noyaux d'hélium issus des réactions de fusion

$R_\text{f}$

Taux de fusion, mesure du nombre de réactions par unité de temps

$\tau_\text{E}$

Temps de confinement de l'énergie : un champ plus fort retient la chaleur plus longtemps

$B$

Champ magnétique en tesla, entre 1 et 12

La simulation résout cette équation par pas de temps de 0,05 seconde au plus et maintient la température entre 2 et 600 millions de degrés.

Tokamak : stabilité

Un plasma chaud et dense pousse fortement contre le champ magnétique. Si le champ est trop faible pour cette pression, le plasma s'effondre. Ce qui compte, c'est la comparaison de la pression avec un champ minimal.

$$p = \frac{n\, T}{1000}, \qquad B_\text{min} = 0.6 + 5\sqrt{p}$$

$p$

Pression du plasma en unités simplifiées

$n$

Densité du combustible entre 0 et 1 ; le curseur l'affiche jusqu'à 2 × 10²⁰ particules par mètre cube

$T$

Température du plasma en millions de degrés Celsius

$B_\text{min}$

Champ minimal capable de tout juste contenir cette pression

$$T \leftarrow T \times 0.18^{\Delta t}, \qquad R_\text{f} \leftarrow 0.3\, R_\text{f}$$

$T$

Température du plasma en millions de degrés Celsius

$R_\text{f}$

Taux de fusion, mesure du nombre de réactions par unité de temps

$\Delta t$

Durée d'un pas de temps en secondes

Si le champ est au moins égal au champ minimal, le plasma reste stable. Sinon survient une disruption : la température et le taux de fusion chutent en une fraction de seconde, comme le décrit la deuxième ligne.

Tokamak : puissance et facteur Q

Un plasma en combustion fournit jusqu'à 1500 mégawatts de puissance électrique. La puissance suit le taux de fusion avec une constante de temps d'une demi-seconde.

$$P_\text{el} \leftarrow P_\text{el} + (1500\ \text{MW} \times R_\text{f} - P_\text{el}) \times \min(1,\ 2\,\Delta t)$$

$P_\text{el}$

Puissance électrique de la centrale

$R_\text{f}$

Taux de fusion, mesure du nombre de réactions par unité de temps

$\Delta t$

Durée d'un pas de temps en secondes

$$Q = \frac{1500\ \text{MW} \times R_\text{f}}{P_\text{heiz}}, \qquad P_\text{heiz} = 50\ \text{MW} \times h + 1\ \text{MW}$$

$Q$

Facteur Q : rapport entre la puissance de fusion et la puissance de chauffage

$R_\text{f}$

Taux de fusion, mesure du nombre de réactions par unité de temps

$P_\text{heiz}$

Puissance de chauffage en mégawatts

$h$

Puissance de chauffage entre 0 et 1 ; le curseur l'affiche de 0 à 50 MW

Le facteur Q est le rapport entre la puissance de fusion et la puissance de chauffage. Le plasma est considéré comme allumé lorsqu'il est stable, a atteint la température d'allumage et que le taux de fusion dépasse 0,15.

Tokamak : noyaux dans le plasma

Des noyaux de même charge se repoussent. La répulsion suit la loi de Coulomb, adoucie pour ne pas devenir infinie à très courte distance.

$$a = \frac{k\, Z_1 Z_2}{d^2 + \varepsilon^2}, \qquad k = 14\,000\ \text{px}^3/\text{s}^2, \qquad \varepsilon^2 = 64\ \text{px}^2$$

$a$

Accélération avec laquelle deux noyaux se repoussent

$k$

Intensité de la répulsion, adaptée à l'affichage

$Z_1,\ Z_2$

Numéros atomiques des deux noyaux ; pour le bore, la répulsion est cinq fois plus forte que pour l'hydrogène

$d$

Distance entre deux noyaux ; la répulsion agit jusqu'à 55 pixels et est plafonnée à 2200 px/s²

$\varepsilon$

Longueur de lissage qui maintient la répulsion finie à faible distance

$$v \leftarrow v + 0.07\,(v_\text{th} - v), \qquad v_\text{th} = 18 + 150\, \operatorname{clamp}\left(\frac{T}{T_\text{ign}},\ 0,\ 1.3\right)\ \text{px/s}$$

$v$

Vitesse d'un noyau en pixels par seconde

$v_\text{th}$

Vitesse thermique vers laquelle un thermostat ramène chaque noyau

$T$

Température du plasma en millions de degrés Celsius

$T_\text{ign}$

Température d'allumage du combustible, selon le tableau ci-dessus

Deux noyaux fusionnent lorsqu'ils se rapprochent à moins de 1,13 fois la somme de leurs rayons, que le plasma est stable et plus chaud que 45 pour cent de la température d'allumage. Le produit de réaction léger s'éloigne alors à 320 px/s dans une direction aléatoire. Pour deutérium-tritium et deutérium-deutérium, c'est un neutron, pour deutérium-hélium-3 un proton et pour proton-bore un noyau d'hélium. Dans la simulation, le nombre de noyaux affichés suit la densité.

$$N = \operatorname{round}(6 + 20\, n)$$

$N$

Nombre de noyaux affichés

$n$

Densité du combustible entre 0 et 1 ; le curseur l'affiche jusqu'à 2 × 10²⁰ particules par mètre cube

Stellarator : confinement sans courant plasma

Le stellarator suit les mêmes équations que le tokamak, à deux différences près. Ses bobines torsadées maintiennent le plasma sans courant plasma, si bien qu'aucune disruption ne peut se produire. Et la qualité du confinement de la chaleur dépend en outre de la forme des bobines.

$$\tau_\text{E} = \left(0.25 + 1.7\,\frac{B}{12}\right) \times (0.55 + 0.5\, o)$$

$\tau_\text{E}$

Temps de confinement de l'énergie : un champ plus fort retient la chaleur plus longtemps

$B$

Champ magnétique en tesla, entre 1 et 12

$o$

Optimisation des bobines entre 0,3 et 1

Si la pression dépasse ce que le champ peut contenir, le temps de confinement diminue au lieu que le plasma ne s'effondre. Il continue de brûler, simplement moins bien.

$$\tau_\text{E} \leftarrow 0.45\, \tau_\text{E} \qquad (B < B_\text{min})$$

$\tau_\text{E}$

Temps de confinement de l'énergie : un champ plus fort retient la chaleur plus longtemps

$B$

Champ magnétique en tesla, entre 1 et 12

$B_\text{min}$

Champ minimal capable de tout juste contenir cette pression

La simulation calcule le champ minimal, le taux de fusion, la puissance électrique et les noyaux dans le plasma comme pour le tokamak.

Laser : gain d'un tir

En fusion par laser, la symétrie des faisceaux est déterminante. Le facteur de gain d'un tir est le produit d'une valeur de base du combustible et de deux facteurs pour la symétrie et l'énergie laser.

$$G = G_\text{B} \times f_\sigma \times f_\text{E}$$

$G$

Facteur de gain du tir : rendement divisé par l'énergie laser

$G_\text{B}$

Gain de base du combustible : 110 pour D-T, 38 pour D-D, 72 pour D-³He, 30 pour p-¹¹B

$f_\sigma$

Facteur de symétrie des faisceaux

$f_\text{E}$

Facteur d'énergie laser

$$f_\sigma = s(\sigma;\ 0.5,\ 0.95)^2, \qquad f_\text{E} = 0.4 + 0.6\, \operatorname{clamp}\left(\frac{E_\text{L} - 0.5\ \text{MJ}}{2.5\ \text{MJ}},\ 0,\ 1\right)$$

$f_\sigma$

Facteur de symétrie des faisceaux

$f_\text{E}$

Facteur d'énergie laser

$s$

Transition douce de la deuxième fonction auxiliaire ci-dessus

$\sigma$

Symétrie des faisceaux entre 0,3 et 1 ; en dessous de 0,7, l'implosion échoue

$E_\text{L}$

Énergie laser entre 0,5 et 3 MJ

$$Y = E_\text{L} \times G, \qquad P_\text{el} = Y \times 10\ \text{Hz} \times 0.4$$

$Y$

Rendement énergétique du tir

$E_\text{L}$

Énergie laser entre 0,5 et 3 MJ

$G$

Facteur de gain du tir : rendement divisé par l'énergie laser

$P_\text{el}$

Puissance électrique de la centrale

Une centrale laser tire dix fois par seconde et convertit 40 pour cent de la chaleur en électricité. Dans la simulation, un tir dure trois secondes. Compression, allumage et combustion suivent l'axe du temps de 0 à 1 avec des transitions douces.

$$e(t) = \begin{cases} 2t^2 & t < 0.5 \\ 1 - \dfrac{(2 - 2t)^2}{2} & t \geq 0.5 \end{cases}$$

$e$

Avancement de l'animation entre 0 et 1

$t$

Chronologie du tir entre 0 et 1

Comparaison avec le charbon et l'éolien

La comparaison extrapole la puissance de la centrale sur un an. Elle repose sur un mégawatt de puissance électrique avec un facteur de charge de 90 pour cent et un rendement de 40 pour cent. Cela correspond à environ 7,1 × 10¹³ joules de chaleur par an.

$$m_\text{F} = 0.21\ \text{kg} \times \frac{P}{\text{MW}} \times \frac{3.4 \times 10^{11}\ \text{J/g}}{e}$$

$m_\text{F}$

Combustible de fusion par an

$P$

Puissance électrique de la centrale

$e$

Densité d'énergie du combustible choisi, d'après le tableau ci-dessus

$$m_\text{Kohle} = 2470\ \text{t} \times \frac{P}{\text{MW}}, \qquad m_{\text{CO}_2} = 6160\ \text{t} \times \frac{P}{\text{MW}}$$

$m_\text{Kohle}$

Houille par an

$m_{\text{CO}_2}$

CO₂ issu de la combustion de ce charbon, par an

$P$

Puissance électrique de la centrale

$$N_\text{Wind} = \frac{P}{4\ \text{MW} \times 0.30}, \qquad N_\text{Kohle} = \frac{P}{400\ \text{MW}}$$

$N_\text{Wind}$

Éoliennes de 4 MW qui fournissent en moyenne 30 pour cent de leur puissance

$N_\text{Kohle}$

Tranches de centrale au charbon de 400 MW chacune

$P$

Puissance électrique de la centrale

Pour le deutérium-tritium, cela donne environ 210 grammes de combustible par mégawatt et par an. La houille, avec environ 29 mégajoules par kilogramme, en exige environ 2470 tonnes pour la même chaleur, et sa combustion libère environ 6160 tonnes de CO₂.